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Non-conservation de spin dans l’interaction de Coulomb

Solution:

Le spin des particules impliquées dans l’interaction de Coulomb est toujours conservé. Bien que votre calcul soit juste, il ne contredit pas ce fait à propos de l’interaction de Coulomb. Le diagramme de Feynman que vous avez dessiné correspond à $A_mubar{psi}gamma^mupsi$. Comme vous pouvez le constater, l’implication de $A_mu$ fait de l’interaction une interaction « électromagnétique » et ne se limite donc pas uniquement à une interaction « électrique » (lire interaction de Coulomb). Dans une correction relativiste d’ordre supérieur, vous devriez voir non seulement des effets électriques mais aussi des effets magnétiques et les effets ultérieurs existent indépendamment de l’interaction de Coulomb. Et demandons pourquoi il devrait y avoir des effets magnétiques. Ceux-ci existent en raison du fait que contrairement au cas du potentiel de Coulomb où les charges sont au repos, nous avons des charges mobiles dans cette diffusion particulière. Rappelez-vous également que les champs électriques et magnétiques sont des concepts dépendants du cadre et donc si dans un cadre vous voyez un champ magnétique, cela ne garantit pas l’existence d’un champ magnétique dans tous les cadres inertiels. Avec ces faits en main, examinons le terme supplémentaire qui vous dérange. L’un des termes supplémentaires est le suivant,

$$e^2xi^{s^primedagger}frac{1}{sqrt{p_0^prime p_0}}iboldsymbol{sigma}cdot(mathbf{p^prime} timesmathbf{p})xi^sfrac{i}{|mathbf{p^prime}-mathbf{p}|^2}2sqrt{p_0^prime p_0}(xi ^{r^primedagger}xi^{r})_{mathbf{k}}$$
La signification physique de ce terme n’est pas tout à fait visible dans l’espace des impulsions, revenons donc à l’espace des positions par transformation de Fourier,
$$-e^2intfrac{d^3mathbf{q}}{(2pi)^3}xi^{s^primedagger}frac{1}{4m^3} iboldsymbol{sigma}cdot(mathbf{p^prime}timesmathbf{p})xi^sfrac{1}{|mathbf{q}|^2}2m(xi ^{r^primedagger}xi^{r})_{mathbf{k}}e^{imathbf{q}cdot(mathbf{x_1}-mathbf{x_2})}$ $
où, j’ai mis $p_0=p^prime_0environ m$, et $mathbf{q}$ est la différence entre les impulsions des particules, $mathbf{q}=mathbf{p^prime}-mathbf{p}=mathbf{k}-mathbf{k^prime}$ et $mathbf{x_1}$ et $mathbf{x_2}$ sont les vecteurs de position des deux particules. De plus, j’en ai supprimé un $-i$ et divisé par $4m^2$ afin d’acquérir le potentiel de l’amplitude due à l’approximation de Born. Pour effectuer l’intégration, supposons $mathbf{p}$ être un vecteur fixe et faire varier le vecteur $mathbf{p^prime}$ générer tout le possible $mathbf{q}$ vecteurs. Maintenant écris $mathbf{p^prime}=mathbf{q}+mathbf{p}$. Ainsi, le produit croisé se simplifie en $$mathbf{p^prime}timesmathbf{p}=mathbf{q}timesmathbf{p}=-mathbf{p}timesmathbf{q}$$. Après avoir fait tout cela, faisons l’intégration,
$$ begin{align} &-e^2frac{1}{4m^2}intfrac{d^3mathbf{q}}{(2pi)^3}xi^{s ^primedagger}iboldsymbol{sigma}cdot(mathbf{p^prime}timesmathbf{p})xi^sfrac{1}{|mathbf{q}|^ 2}2(xi^{r^primedagger}xi^{r})_{mathbf{k}}e^{imathbf{q}cdot(mathbf{x_1}-mathbf {x_2})}\ &=e^2frac{1}{4m^2}intfrac{d^3mathbf{q}}{(2pi)^3}xi^{s ^primedagger}boldsymbol{sigma}xi^scdot i(mathbf{p}timesmathbf{q})frac{1}{|mathbf{q}|^2}2 delta^{r^prime r}e^{imathbf{q}cdot(mathbf{x_1}-mathbf{x_2})}\ &=2e^2frac{1}{4m^ 2}delta^{r^prime r}xi^{s^primedagger}boldsymbol{sigma}xi^scdot(mathbf{p}timesboldsymbol{nabla}_ {mathbf{x}})intfrac{d^3mathbf{q}}{(2pi)^3}frac{1}{|mathbf{q}|^2}e^{ imathbf{q}cdotmathbf{x}} end{align} $$
où nous avons appelé $mathbf{x_1}-mathbf{x_2}=mathbf{x}$. Poursuivant,
$$ begin{align} &-e^2frac{1}{4m^2}intfrac{d^3mathbf{q}}{(2pi)^3}xi^{s ^primedagger}iboldsymbol{sigma}cdot(mathbf{p^prime}timesmathbf{p})xi^sfrac{1}{|mathbf{q}|^ 2}2(xi^{r^primedagger}xi^{r})_{mathbf{k}}e^{imathbf{q}cdot(mathbf{x_1}-mathbf {x_2})}\ &=2e^2frac{1}{4m^2}delta^{r^prime r}xi^{s^primedagger}boldsymbol{sigma} xi^scdot(mathbf{p}timesboldsymbol{nabla}_{mathbf{x}})frac{1}{4pi|mathbf{x}|}\ &=- 2e^2frac{1}{4m^2}delta^{r^prime r}xi^{s^primedagger}boldsymbol{sigma}xi^scdotfrac{ mathbf{p}times mathbf{x}}{4pi|mathbf{x}|^3}\ &=-2frac{e}{2m}delta^{r^prime r} xi^{s^primedagger}frac{1}{2}boldsymbol{sigma}xi^scdotfrac{efrac{mathbf{p}}{m}times mathbf{x}}{4pi|mathbf{x}|^3} end{align} $$
Maintenant, rappelons la définition du moment magnétique,
$$boldsymbol{mu}=2left(frac{e}{2m}right)mathbf{S}$$
avec mise à la Lande $g$-facteur à la valeur $2$ à l’ordre le plus bas de la perturbation QED. L’opérateur de spin est défini comme,
$$mathbf{S}=frac{1}{2}boldsymbol{sigma}$$
et $xi^{s^primedagger}frac{1}{2}boldsymbol{sigma}xi^s$
peut être écrit comme $langlemathbf{S}rangle$. Maintenant, le moment magnétique est en produit scalaire avec,
$$frac{efrac{mathbf{p}}{m}times mathbf{x}}{4pi|mathbf{x}|^3}$$
qui est le champ magnétique créé en raison du mouvement de l’une des particules. C’est la norme Loi Biot-Savart pour un champ magnétique dû à une charge en mouvement. Ainsi, la pièce supplémentaire correspond à un potentiel $-langleboldsymbol{mu}ranglecdotmathbf{B}$ due à une particule, via son moment magnétique, se couplant au champ magnétique généré par le mouvement de l’autre particule.

La morale de l’histoire est donc que le diagramme de Feynman ci-dessus contient des informations non seulement sur l’interaction de Coulomb d’ordre le plus bas, mais également sur les interactions magnétiques dues au mouvement des particules et ne doit pas être comparé au potentiel de Coulomb dans son ensemble. Pour la partie du potentiel de Coulomb, les spins des particules sont conservés, alors que les interactions magnétiques mélangent les spins des particules.



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